(剑指Offer)面试题32:从1到n整数中1出现的次数
题目:
输入一个整数n,求从1到n这n个整数的十进制表示中1出现的次数。例如输入12,从1到12这些整数中包含1的数字有1,10,11和12,一共出现了5次。
思路:
1、累加法
累加1到n中每个整数1出现的次数。
求每个整数1出现的个数:通过对10求余数,判断整数的个位是否为1,如果商不为0,则继续除以10再判断个位数字是否为1.
时间复杂度:O(nlogn)
2、递归
以21345为例,把1到21345的所有数字分为两段,1-1345,1346-21345。
先看1346-21345,1的出现分为两种情况,1出现在最高位,1出现在其他位。
考虑1出现在最高位:从1346到21345的数字中,1出现在10000-19999这10000个数字的万位中,一共出现10000次(最高位大于1的情况下),当最高位为1时,出现1的次数为除去最高位数字后的数字再加1,如1346-11345,最高位出现1的次数为1345+1=1346次。
考虑1出现在其他位:由于最高位是2,因此1346-21345可以分为两段,1346-11345,11346-21345,每一段剩下的4位中,每一位都可以选择为1,共有4种,而其他三位在0-9之间任意选择,因此根据排列组合原则,总共出现的次数是2*4*10^3=6000.
至于1-1345中1出现的次数,通过上述方法递归得到。这也是为什么要分成1-1345和1346-21345两段的原因,因为把21345的最高位去掉就编成1345,便于采用递归的思路。
总结一下以上的分析结果:
1、1出现在最高位:当最高位为1时,次数等于除去最高位后剩下的数字加1,当最高位大于1时,次数等于10的(位数-1)次方;
2、1出现在其他位:次数等于最高位数字*(总位数-1)*10的(剩下位数-1)次方
时间复杂度:
这种思路每次去掉最高位做递归,递归的次数和位数相同。一个数字有O(logn)位,因此时间复杂度为O(logn).
代码:
1、累加法
#include <iostream> using namespace std; int numberOf1(int n){ int count=0; while(n){ if(n%10==1) count++; n=n/10; } return count; } int numberOf1Between1AndN(unsigned int n){ int count=0; for(unsigned int i=1;i<=n;i++){ count+=numberOf1(i); } return count; } int main() { cout << numberOf1Between1AndN(12) << endl; return 0; }
2、递归
#include <iostream> #include <string.h> #include <stdlib.h> #include <stdio.h> using namespace std; int PowerBase10(unsigned int n){ int result=1; for(unsigned int i=1;i<=n;i++) result*=10; return result; } int numberOf1_Recursive(const char* strN){ if(strN==NULL || *strN<'0' || *strN>'9' || *strN=='\0') return 0; int first=strN[0]-'0'; unsigned int length=static_cast<unsigned int>(strlen(strN)); if(length==1 && first==0) return 0; if(length==1 && first>0) return 1; int numFirstDigit=0; if(first>1) numFirstDigit=PowerBase10(length-1); else if(first==1) numFirstDigit=atoi(strN+1)+1; int numOtherDigit=first*(length-1)*PowerBase10(length-2); int numRecursive=numberOf1_Recursive(strN+1); return numFirstDigit+numOtherDigit+numRecursive; } int numberOf1Between1AndN_Recursive(unsigned int n){ if(n<=0) return 0; char strN[50]; sprintf(strN,"%d",n); return numberOf1_Recursive(strN); } int main() { cout << numberOf1Between1AndN_Recursive(12) << endl; return 0; }
在线测试OJ:
http://www.nowcoder.com/books/coding-interviews/bd7f978302044eee894445e244c7eee6?rp=2
AC代码:
累加法:
class Solution { public: int NumberOf1Between1AndN_Solution(int n) { int count=0; for(int i=1;i<=n;i++) count+=numberOf1(i); return count; } int numberOf1(int n){ int count=0; while(n){ if(n%10==1) count++; n=n/10; } return count; } };
递归:
class Solution { public: int NumberOf1Between1AndN_Solution(int n) { if(n<=0) return 0; char strN[50]; sprintf(strN,"%d",n); return numberOf1(strN); } int numberOf1(const char* strN){ if(strN==NULL || *strN<'0' || *strN>'9' || *strN=='\0') return 0; int first=strN[0]-'0'; unsigned int length=static_cast<unsigned int>(strlen(strN)); if(length==1 && first==0) return 0; if(length==1 && first>0) return 1; int numFirstDigit=0; if(first>1) numFirstDigit=PowerBase10(length-1); else if(first==1) numFirstDigit=atoi(strN+1)+1; int numOtherDigit=first*(length-1)*PowerBase10(length-2); int numRecursive=numberOf1(strN+1); return numFirstDigit+numOtherDigit+numRecursive; } int PowerBase10(int n){ int result=1; for(int i=0;i<n;i++) result*=10; return result; } };